Rainbow supercharacters and a poset analogue to q-binomial coefficients

This paper introduces a variation on the binomial coefficient that depends on a poset and interpolates between q-binomials and 1-binomials: a total order gives the usual q-binomial, and a poset with no relations gives the usual binomial coefficient. These coefficients arise naturally in the study of supercharacters of the finite groups of unipotent upper-triangular matrices, whose representation theory is dictated by the combinatorics of set partitions. In particular, we find a natural set of modules for these groups, whose characters have degrees given by q-binomials, and whose decomposition in terms of supercharacters are given by poset binomial coefficients. This results in a non-trivial family of formulas relating poset binomials to the usual q-binomials. Résumé. Cet article présente une variation des coefficients binomiaux qui dépend d’un ordre partiel et qui interpole entre les q-binômes et les 1-binômes: un ordre total donne les q-binômes habituelles, et un ordre partiel sans relations donne les coefficients binomiaux habituelles. Ces coefficients apparaissent naturellement dans l’étude des supercaractères de groupes finis de matrices unipotentes, triangulaires supérieures, dont la représentation est dictée par la théorie de la combinatoire des partitions d’ensembles. En particulier, nous trouvons un ensemble naturel de modules pour ces groupes, dont les caractères ont des degrés donnés par les q-binômes, et dont les décompositions en termes de supercaractères sont donnés par les coefficients binômiaux d’ordres partiels. Cela donne une famille non-trivial de formules qui relient les binômes d’ordres partiels aux q-binômes habituelles.